【基本情報 科目B】再帰で元利合計を求める問題をやさしく解説！「1つ前の結果を使う」がポイント

はじめに

基本情報技術者試験の科目Bでは、再帰関数 の問題がよく出題されます。

その中でも、

• 元利合計（複利）
• 階乗
• フィボナッチ数列
• 最大公約数

は定番問題です。

今回は、元利合計を求める再帰問題を使って、

「再帰ってどう考えればいいの？」

という疑問をやさしく解説します。

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元利合計の公式

元金 p を年利 r で n 年運用したときの金額は、

$p(1+r)^n$

で求められます。

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用語の意味

記号	意味
p	元金
r	年利
n	年数

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例

• 元金：100円
• 年利：10% (r = 0.1)
• 年数：3年

すると$$100 \times 1.1^3 = 133.1$$

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問題

関数 fv(p, r, n) は、n 年後の元利合計を返す。

実数型: fv(実数型: p, 実数型: r, 整数型: n)

if ( a )
    return p
else
    return b
endif

a と b に入る適切なものを答えよ。

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まず fv の意味を理解しよう

fv(p, r, n) は、

n年後の元利合計を返す関数

です。

つまり、

fv(p, r, 2)

は、$$p(1+r)^2$$

と同じ意味です。

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対応表

関数	意味
fv(p, r, 0)	0年後の金額
fv(p, r, 1)	1年後の金額
fv(p, r, 2)	2年後の金額
fv(p, r, 3)	3年後の金額

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終了条件を考える

0年後なら利息は付かないので、$$p(1+r)^0 = p$$

したがって

if (n = 0)
    return p

となります。

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再帰部分を考える

3年後の金額は、$$p(1+r)^3$$

です。

これを分解すると、$$p(1+r)^3 = p(1+r)^2 \times (1+r)$$

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ここが重要！

p(1+r)^2 は 2年後の金額。

つまり、

fv(p, r, 2)

と書けます。

したがって、3年後の金額は

fv(p, r, 3)
= fv(p, r, 2) × (1 + r)

と書けます。

一般化すると

fv(p, r, n)
= fv(p, r, n - 1) × (1 + r)

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完成したプログラム

実数型: fv(実数型: p, 実数型: r, 整数型: n)

if (n = 0)
    return p
else
    return fv(p, r, n - 1) × (1 + r)
endif

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正解

a	b
n = 0	fv(p, r, n - 1) × (1 + r)

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実際の計算例

fv(100, 0.1, 3) を計算してみます。

fv(100, 0.1, 3)
= fv(100, 0.1, 2) × 1.1
= fv(100, 0.1, 1) × 1.1 × 1.1
= fv(100, 0.1, 0) × 1.1 × 1.1 × 1.1
= 100 × 1.1 × 1.1 × 1.1
= 133.1

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再帰問題の解き方

再帰問題では、次の3ステップで考えると解きやすいです。

① 終了条件を考える

これ以上分解しなくてよい状態。

② 1つ前の状態を考える

今回なら n-1 年後。

③ 前の結果から現在を求める

(n-1) 年後 × (1+r)。

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まとめ

• fv(p, r, n) は n年後の元利合計
• n = 0 のときは p
• n > 0 のときは

fv(p, r, n - 1) × (1 + r)

• 再帰の基本は

「1つ前の結果を使う」